多元函数连续的充要条件

多元函数 f(x,y) 在某点 (a,b) 处连续的充要条件是其在该点处的极限存在且与路径无关。形式化地说,f(x,y)(a,b) 处连续的充要条件是:

lim(x,y)(a,b)f(x,y)=f(a,b)

多元函数可导的充要条件

多元函数可导的充要条件可以用偏导数来表述。设 f(x,y) 是定义在某个区域内的二元函数,那么 f(x,y) 在某点 (a,b) 处可导的充要条件是:

  1. 存在偏导数 fx(a,b)fy(a,b)
  2. f(x,y)(a,b) 处沿任意方向的方向导数存在且连续,即沿任意单位向量 (cosθ,sinθ)limh0f(a+hcosθ,b+hsinθ)f(a,b)h 存在且与方向 θ 无关。

多元函数可微的充要条件

多元函数可微的充要条件可以使用偏导数和全微分来表述。设 f(x,y) 是定义在某个区域内的二元函数,那么 f(x,y) 在某点 (a,b) 处可微的充要条件是:

  1. 存在偏导数 fx(a,b)fy(a,b)

  2. f(x,y)(a,b) 处沿任意方向的方向导数存在。

  3. 存在常数 AB 使得在 (a,b) 附近有以下成立:

limx,y(a,b)f(x,y)f(a,b)=fx(a,b)(xa)+fy(a,b)(yb)+A(xa)+B(yb)

多元函数可微的证明方法

证明多元函数 f(x,y) 在某点 (a,b) 处可微的一个常见方法如下:

已知全微分为
df=fxdx+fydy

这里,fxfy 分别表示 fxy 的偏导数,dxdy 分别表示自变量 xy 的微小变化量。

我们又知道,当使用 ΔxΔy 表示自变量的微小变化时,函数 f(x,y) 的增量可以表示为:

Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)
因此,满足如下公式的时候,多元函数可微分:

limx,y(a,b)Adx+Bdydzx2+y2=fxdx+fydydzx2+y2=0

多元函数偏导数

对于多元函数 f(x,y),其偏导数连续、可导、可微的充要条件可以总结如下:

连续的充要条件:

  • 如果 f(x,y) 的偏导数 fxfy 在某个区域内连续,则 f(x,y) 在该区域内偏导数连续。

  • 如果 f(x,y) 在某点处可微分,则该点的偏导数存在且连续。

可导的充要条件:

  • 如果 f(x,y) 的偏导数 fxfy 在某个区域内存在且连续,则 f(x,y) 在该区域内可导。

  • 证明方法同多元函数可导的证明方法。

可微的充要条件:

  • 如果 f(x,y) 在某点处的偏导数存在且连续,那么 f(x,y) 在该点处可微。

  • 如果 f(x,y) 在某点处可微,则 f(x,y) 在该点处可导,且偏导数存在且连续。

多元函数可导不一定连续

多元函数可导但不连续的一个典型例子是绝对值函数 f(x,y)=|xy|/(x2+y2)。我们可以证明这个函数在原点 (0,0) 处可导,但不连续。

首先,我们来证明 f(x,y) 在原点 (0,0) 处可导。对于 f(x,y),我们有:

f(x,y)=|xy|x2+y2

我们希望证明 lim(x,y)(0,0)|xy|x2+y2 存在。我们可以使用极坐标来证明这一点。令 x=rcos(θ)y=rsin(θ),其中 r>0。这样,我们有:

f(rcos(θ),rsin(θ))=|r2cos(θ)sin(θ)|r2=|cos(θ)sin(θ)|

因为 |cos(θ)sin(θ)| 的值不超过 1,所以 lim(x,y)(0,0)|xy|x2+y2=0。因此,函数 f(x,y) 在原点 (0,0) 处可导。

接下来,我们来证明 f(x,y) 在原点 (0,0) 处不连续。考虑沿着 y=x 这条直线趋向原点时的极限:

limx0f(x,x)=limx0|x2|2x2=limx012=12

而当 (x,y) 趋向原点 (0,0) 但不在 y=x 这条直线上时,f(x,y) 的极限为 0。因此,f(x,y) 在原点 (0,0) 处的极限不存在,即不连续。