多元函数连续的充要条件

多元函数 $f (x, y)$ 在某点 $(a, b)$ 处连续的充要条件是其在该点处的极限存在且与路径无关。形式化地说， $f (x, y)$ 在 $(a, b)$ 处连续的充要条件是：

$lim_{(x, y) \to (a, b)} f (x, y) = f (a, b)$

多元函数可导的充要条件

多元函数可导的充要条件可以用偏导数来表述。设 $f (x, y)$ 是定义在某个区域内的二元函数，那么 $f (x, y)$ 在某点 $(a, b)$ 处可导的充要条件是：

存在偏导数 $f_{x} (a, b)$ 和 $f_{y} (a, b)$ ；
$f (x, y)$ 在 $(a, b)$ 处沿任意方向的方向导数存在且连续，即沿任意单位向量 $(\cos θ, \sin θ)$ ， $lim_{h \to 0} \frac{f (a + h \cos θ, b + h \sin θ) - f (a, b)}{h}$ 存在且与方向 $θ$ 无关。

多元函数可微的充要条件

多元函数可微的充要条件可以使用偏导数和全微分来表述。设 $f (x, y)$ 是定义在某个区域内的二元函数，那么 $f (x, y)$ 在某点 $(a, b)$ 处可微的充要条件是：

存在偏导数 $f_{x} (a, b)$ 和 $f_{y} (a, b)$ ；
$f (x, y)$ 在 $(a, b)$ 处沿任意方向的方向导数存在。
存在常数 $A$ 和 $B$ 使得在 $(a, b)$ 附近有以下成立：

$lim_{（ x, y ） \to (a, b)} f (x, y) - f (a, b) = f_{x} (a, b) (x - a) + f_{y} (a, b) (y - b) + A (x - a) + B (y - b)$

多元函数可微的证明方法

证明多元函数 $f (x, y)$ 在某点 $(a, b)$ 处可微的一个常见方法如下：

已知全微分为
$d f = \frac{\partial f}{\partial x} d x + \frac{\partial f}{\partial y} d y$

这里， $\frac{\partial f}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 分别表示 $f$ 对 $x$ 和 $y$ 的偏导数， $d x$ 和 $d y$ 分别表示自变量 $x$ 和 $y$ 的微小变化量。

我们又知道，当使用 $Δ x$ 和 $Δ y$ 表示自变量的微小变化时，函数 $f (x, y)$ 的增量可以表示为：

$Δ z = A Δ x + B Δ y + o (ρ)$
因此，满足如下公式的时候，多元函数可微分：

$lim_{（ x, y ） \to (a, b)} \frac{A d x + B d y - d z}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} = \frac{\frac{\partial f}{\partial x} d x + \frac{\partial f}{\partial y} d y - d z}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} = 0$

多元函数偏导数

对于多元函数 $f (x, y)$ ，其偏导数连续、可导、可微的充要条件可以总结如下：

连续的充要条件：

如果 $f (x, y)$ 的偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 在某个区域内连续，则 $f (x, y)$ 在该区域内偏导数连续。
如果 $f (x, y)$ 在某点处可微分，则该点的偏导数存在且连续。

可导的充要条件：

如果 $f (x, y)$ 的偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 在某个区域内存在且连续，则 $f (x, y)$ 在该区域内可导。
证明方法同多元函数可导的证明方法。

可微的充要条件：

如果 $f (x, y)$ 在某点处的偏导数存在且连续，那么 $f (x, y)$ 在该点处可微。
如果 $f (x, y)$ 在某点处可微，则 $f (x, y)$ 在该点处可导，且偏导数存在且连续。

多元函数可导不一定连续

多元函数可导但不连续的一个典型例子是绝对值函数 $f (x, y) = | x y | / (x^{2} + y^{2})$ 。我们可以证明这个函数在原点 $(0, 0)$ 处可导，但不连续。

首先，我们来证明 $f (x, y)$ 在原点 $(0, 0)$ 处可导。对于 $f (x, y)$ ，我们有：

$f (x, y) = \frac{| x y |}{x^{2} + y^{2}}$

我们希望证明 $lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{| x y |}{x^{2} + y^{2}}$ 存在。我们可以使用极坐标来证明这一点。令 $x = r \cos (θ)$ ， $y = r \sin (θ)$ ，其中 $r > 0$ 。这样，我们有：

$f (r \cos (θ), r \sin (θ)) = \frac{| r^{2} \cos (θ) \sin (θ) |}{r^{2}} = | \cos (θ) \sin (θ) |$

因为 $| \cos (θ) \sin (θ) |$ 的值不超过 $1$ ，所以 $lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{| x y |}{x^{2} + y^{2}} = 0$ 。因此，函数 $f (x, y)$ 在原点 $(0, 0)$ 处可导。

接下来，我们来证明 $f (x, y)$ 在原点 $(0, 0)$ 处不连续。考虑沿着 $y = x$ 这条直线趋向原点时的极限：

$lim_{x \to 0} f (x, x) = lim_{x \to 0} \frac{| x^{2} |}{2 x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

而当 $(x, y)$ 趋向原点 $(0, 0)$ 但不在 $y = x$ 这条直线上时， $f (x, y)$ 的极限为 $0$ 。因此， $f (x, y)$ 在原点 $(0, 0)$ 处的极限不存在，即不连续。