多元函数及其偏导数的连续、可导、可微
多元函数连续的充要条件
多元函数
多元函数可导的充要条件
多元函数可导的充要条件可以用偏导数来表述。设
- 存在偏导数
和 ; 在 处沿任意方向的方向导数存在且连续,即沿任意单位向量 , 存在且与方向 无关。
多元函数可微的充要条件
多元函数可微的充要条件可以使用偏导数和全微分来表述。设
存在偏导数
和 ; 在 处沿任意方向的方向导数存在。存在常数
和 使得在 附近有以下成立:
多元函数可微的证明方法
证明多元函数
已知全微分为
这里,
我们又知道,当使用
因此,满足如下公式的时候,多元函数可微分:
多元函数偏导数
对于多元函数
连续的充要条件:
如果
的偏导数 和 在某个区域内连续,则 在该区域内偏导数连续。如果
在某点处可微分,则该点的偏导数存在且连续。
可导的充要条件:
如果
的偏导数 和 在某个区域内存在且连续,则 在该区域内可导。证明方法同多元函数可导的证明方法。
可微的充要条件:
如果
在某点处的偏导数存在且连续,那么 在该点处可微。如果
在某点处可微,则 在该点处可导,且偏导数存在且连续。
多元函数可导不一定连续
多元函数可导但不连续的一个典型例子是绝对值函数
首先,我们来证明
我们希望证明
因为
接下来,我们来证明
而当