多元函数连续的充要条件

多元函数 $f(x, y)$ 在某点 $(a, b)$ 处连续的充要条件是其在该点处的极限存在且与路径无关。形式化地说，$f(x, y)$ 在 $(a, b)$ 处连续的充要条件是：

$$
\lim_{(x, y) \to (a, b)} f(x, y) = f(a, b)
$$

多元函数可导的充要条件

多元函数可导的充要条件可以用偏导数来表述。设 $f(x, y)$ 是定义在某个区域内的二元函数，那么 $f(x, y)$ 在某点 $(a, b)$ 处可导的充要条件是：

存在偏导数 $f_x(a, b)$ 和 $f_y(a, b)$；
$f(x, y)$ 在 $(a, b)$ 处沿任意方向的方向导数存在且连续，即沿任意单位向量 $(\cos \theta, \sin \theta)$，$\lim_{h \to 0} \frac{f(a + h\cos \theta, b + h\sin \theta) - f(a, b)}{h}$ 存在且与方向 $\theta$ 无关。

多元函数可微的充要条件

多元函数可微的充要条件可以使用偏导数和全微分来表述。设 $f(x, y)$ 是定义在某个区域内的二元函数，那么 $f(x, y)$ 在某点 $(a, b)$ 处可微的充要条件是：

存在偏导数 $f_x(a, b)$ 和 $f_y(a, b)$；
$f(x, y)$ 在 $(a, b)$ 处沿任意方向的方向导数存在。
存在常数 $A$ 和 $B$ 使得在 $(a, b)$ 附近有以下成立：

$$\lim_{（x,y）\to (a,b)}
f(x, y) - f(a, b) = f_x(a, b)(x-a) + f_y(a, b)(y-b) + A(x-a) + B(y-b) \quad
$$

多元函数可微的证明方法

证明多元函数 $f(x, y)$ 在某点 $(a, b)$ 处可微的一个常见方法如下：

已知全微分为
$$
df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy
$$

这里，$\frac{\partial f}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 分别表示 $f$ 对 $x$ 和 $y$ 的偏导数，$dx$ 和 $dy$ 分别表示自变量 $x$ 和 $y$ 的微小变化量。

我们又知道，当使用 $\Delta x$ 和 $\Delta y$ 表示自变量的微小变化时，函数 $f(x, y)$ 的增量可以表示为：

$$
\Delta z = A\Delta x+B\Delta y+o(ρ)
$$
因此，满足如下公式的时候，多元函数可微分：

$$
\lim_{（x,y）\to (a,b)}\frac{Adx+Bdy-dz}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{\frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy-dz}{\sqrt{x^2 + y^2}}=0
$$

多元函数偏导数

对于多元函数 $f(x, y)$，其偏导数连续、可导、可微的充要条件可以总结如下：

连续的充要条件：

如果 $f(x, y)$ 的偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 在某个区域内连续，则 $f(x, y)$ 在该区域内偏导数连续。
如果 $f(x, y)$ 在某点处可微分，则该点的偏导数存在且连续。

可导的充要条件：

如果 $f(x, y)$ 的偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 在某个区域内存在且连续，则 $f(x, y)$ 在该区域内可导。
证明方法同多元函数可导的证明方法。

可微的充要条件：

如果 $f(x, y)$ 在某点处的偏导数存在且连续，那么 $f(x, y)$ 在该点处可微。
如果 $f(x, y)$ 在某点处可微，则 $f(x, y)$ 在该点处可导，且偏导数存在且连续。

多元函数可导不一定连续

多元函数可导但不连续的一个典型例子是绝对值函数 $f(x, y) = |xy|/(x^2 + y^2)$。我们可以证明这个函数在原点 $(0, 0)$ 处可导，但不连续。

首先，我们来证明 $f(x, y)$ 在原点 $(0, 0)$ 处可导。对于 $f(x, y)$，我们有：

$$
f(x, y) = \frac{|xy|}{x^2 + y^2}
$$

我们希望证明 $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{|xy|}{x^2 + y^2}$ 存在。我们可以使用极坐标来证明这一点。令 $x = r\cos(\theta)$，$y = r\sin(\theta)$，其中 $r > 0$。这样，我们有：

$$
f(r\cos(\theta), r\sin(\theta)) = \frac{|r^2\cos(\theta)\sin(\theta)|}{r^2} = |\cos(\theta)\sin(\theta)|
$$

因为 $|\cos(\theta)\sin(\theta)|$ 的值不超过 $1$，所以 $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{|xy|}{x^2 + y^2} = 0$。因此，函数 $f(x, y)$ 在原点 $(0, 0)$ 处可导。

接下来，我们来证明 $f(x, y)$ 在原点 $(0, 0)$ 处不连续。考虑沿着 $y = x$ 这条直线趋向原点时的极限：

$$
\lim_{x \to 0} f(x, x) = \lim_{x \to 0} \frac{|x^2|}{2x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}
$$

而当 $(x, y)$ 趋向原点 $(0, 0)$ 但不在 $y = x$ 这条直线上时，$f(x, y)$ 的极限为 $0$。因此，$f(x, y)$ 在原点 $(0, 0)$ 处的极限不存在，即不连续。