关于第二类曲线积分和第二类曲面积分的个人理解

“想push自己做好一件事情的最好方法就是逼自己把做这件事的过程和结果展示给别人。”

本文目的

帮助包括我自己在内“不理解第二类曲线积分、第二类曲面积分和第一类曲线积分、第一类曲面积分区别和意义”的同学理解之。（敲公式过于麻烦，我能引用课本的地方一般就不会写出来，推荐配合课本食用）

背景知识

请至少了解第一类曲线积分、第一类曲面积分的定义和性质。

正文内容

第二类曲线积分的定义

我们先前已经知道，第一类曲线积分、第一类曲面积分是什么。粗糙地解释，就是求曲线长度、曲面面积，以及根据线密度、面密度求曲线和曲面的质量，虽然题目千变万化，但是物理意义上大抵如此。

我们又知道，在物理学中，物质有多种存在方式，其中一种是一般看得见摸得着的东西，比如固体、气体、液体，另一种则是看不见摸不着的“场”。根据我个人的理解和书本上的描述，第二类曲线积分、第二类曲面积分是用来刻画场的性质的数学工具。

一个场需要给定两个参数进行刻画：

1. 场的方向：$$F$$
2. 场的强度：$$e_F$$

由于曲线在三维空间中刻画，我们还需要知道这两个参数在三个维度上的分量，所以我们用向量表示它们。

$$F=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k$$

$$e_F=(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )$$

根据做功公式，我们可以容易地得到：

$$W=\underset{r}{\overset{}{\int }}F\cdot e_{F}ds=\underset{r}{\overset{}{\int }}(Pcos\alpha +Qcos\beta +Rcos\gamma )ds$$

这也就是第二类曲线积分的定义公式了。也就是说，看起来难以理解的第二类曲线积分，其实就是三维空间的力场里做功。我们可以根据做功的性质类比地得到如下2个第二类曲线积分的性质：

1. 积分路径相反，则积分数值相反。

2. 若有向曲线A由有向曲线B、C首尾相接而成，则A对应的第二类曲线积分等于B、C对应的第二类曲线积分之和。

第二类曲线积分的计算

由于课本有详尽的证明，这里我们不加证明地给出计算公式：
$$\underset{r}{\overset{}{\int }}F\cdot e_{F}ds=\underset{r}{\overset{}{\int }}(Pcos\alpha +Qcos\beta +Rcos\gamma )=\underset{r}{\overset{}{\int }}Pdx+Qdy+Rdz={\int }_{t_A}^{t_B}[P\cdot x^{\prime }(t)+Q\cdot z^{\prime }(t)+R\cdot z^{\prime }(t)]dt$$

（这里的t其实也可以根据题目需求改成x等等，具体计算流程请看课本例题。）

总而言之，对一条普通的空间或平面曲线求第二类曲线积分的计算步骤如下：

1. 用参数式方程表示路径；
2. 确认路径始末点作为积分上下限；
3. 代入场强（我是这么称呼的）积分式，将其改写为对参数t的积分式；
4. 求解。

第一、二类曲线积分的区别

简而言之，第一类曲线积分是对无向曲线的积分，对弧长进行积分，第二类曲线积分是对有向曲线的积分，对坐标进行积分。

格林公式

$$若函数P，Q在有界闭区域D\subset R^2上连续且具有一阶连续偏导数，则$$
$$\underset{D}{\overset{}{\iint }}\frac{\mathrm{\partial }Q}{\mathrm{\partial }x}-\frac{\mathrm{\partial }P}{\mathrm{\partial }y}dxdy={\oint }_{\mathrm{\Gamma }}^{}Pdx+Qdy$$

证明方法可见课本，此处不证。

解题方法

第二类曲线积分有许多常见的形式，包括：

1. 对$dr$的二次积分，$r$为矢量；
2. 对$dxdy$的二次积分；
3. 对$ds$的二次积分，$s$为弧长。
4. 对$Adx+Bdy$的一次积分

我们尝试总结对这三种第二类曲线积分的解题方法。

对$dr$的二次积分

譬如，已知一个椭圆的曲线表达式为$x^2/a^2+y^2/b^2=1$，力F的大小和点P到原点的距离相等，方向指向原点，如何求点p从最右边沿着曲线移动到最上边的做功？

力场$\mathbf{F}$可以表示为$\mathbf{F} = \mathbf{r}$,曲线$C$上的曲线积分可以表示为：
$
\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}
$,其中$\mathbf{F}$为向量，$\mathbf{F}$=$|\mathbf{F}|·e_F$，其中对$P(x,y)$有$|\mathbf{F}|=\sqrt{x^2+y^2}$，$l_F=(-x,-y)$,$e_F=(\frac{-x}{\sqrt{x^2+y^2}},\frac{-y}{\sqrt{x^2+y^2}})$，因此，$\mathbf{F}=(-x,-y)$。

这样，我们可以将第一种形式转换成第四种形式：
$$
\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} =\int_C -xdx-ydy
$$

后续解法请见第四种形式解法。

总而言之，就是通过将被积函数转换成向量形式，来把$dr$转换成$dx+dy$.

对$dxdy$的二次积分

这个太简单了，不讲。

对$ds$的二次积分